|
|
連続（アナログ）から離散（デジタル）へと視点を変えると世界はどう見えるか？方程式の離散化の本質とは何か？デジタル時代の到来とともに、これらの疑問に答える離散数学の重要性はますます高まっている。本書は、可積分性・再帰系・双線形化法・超離散化・セルオートマトンなど現代数理科学の最先端の概念・技法を駆使し、「差分」と「超離散」の方程式がもたらす拡がりと奥行きの深さをダイナミックに描いた解説書である。差分方程式入門の章、約60の図によるプレゼンテーション、170を越える演習問題とその完全解答など内容にもさまざまな工夫が凝らされており、初めて学ぶ読者でもこの豊かな世界が堪能できるであろう。
第1章 差分方程式
1.1 はじめに
1.2 差分方程式
1.3 1階線形差分方程式
1.4 1階線形非同次差分方程式
1.5 2階線形差分方程式
1.6 定数係数の2階線形同次差分方程式
1.7 定数係数の1階連立差分方程式
1.8 変数係数の2階線形同次差分方程式
1.9 2階線形非同次差分方程式
第2章 再帰方程式
2.1 周期現象と保存量
2.2 再帰現象
2.3 再帰方程式の保存量
2.4 1階非線形差分方程式の再帰性
2.5 2階非線形差分方程式の再帰性
2.6 3,4階非線形差分方程式の再帰性
第3章 微分方程式の差分化
3.1 はじめに
3.2 リカッチ方程式の差分化
3.3 非線形振動子
3.4 双線形化法による差分化
3.5 オイラーのコマ
3.6 代数的エントロピー
3.7 保存量の計算法
第4章 超離散化
4.1 マックスープラス代数
4.2 単位元・逆元
4.3 超離散化
4.4 再帰方程式の超離散化
4.5 保存量と多角形
4.6 その他のマックスープラス型の再帰方程式
4.7 可積分力学系の超離散化
4.8 セルオートマトン
4.9 セルオートマトンと逆超離散化
4.10 逆超離散化のあいまいさ
4.11 構造を保存する超離散化
第5章 バーガーズ・セルオートマトン
5.1 バーガーズ方程式
5.2 差分バーガーズ方程式
5.3 超離散バーガーズ方程式
5.4 衝撃波解
5.5 バーガーズ・セルオートマトン
5.6 バーガーズ・セルオートマトンの性質
5.7 信号機付きバーガーズ・セルオートマトン
5.8 確率バーガーズ・セルオートマトン
第6章 箱玉系とロトカーボルテラ方程式
6.1 箱玉系の定義
6.2 マーキング
6.3 箱玉系の保存量
6.4 時間発展則の表現
6.5 ロトカーボルテラ方程式
6.6 差分ロトカーボルテラ方程式
6.7 超離散ロトカーボルテラ方程式
6.8 箱玉系と超離散ロトカーボルテラ方程式
6.9 箱玉系の拡張
第7章 パターン形成とマックスープラス方程式
7.1 モデル方程式
7.2 基本的な解
7.3 反応拡散系との関連
7.4 基本解の導出1
7.5 座標曲線
7.6 基本解の導出2
付録A 問の答
付録B 章末問題の答
付録C QRT系への変換