テンソル代数、無限次ガロア拡大など、諸分野で必要となる発展的な話題を扱う。長く読みつがれた旧版を、さらに充実させ第2版化。 第1章　体の理論の発展 1.1 超越基底 1.2 順極限と逆極限 1.3 位相群・位相環 1.4 無限次ガロア拡大 1.5 上昇定理 1.6 分解群・惰性群 1.7 分離超越拡大と正則拡大 第2章　可換環論入門 2.1 ネーター環での凖素イデアル分解 2.2 次元 2.3 正規環と下降定理 2.4 ネーターの正規化定理・ヒルベルトの零点定理 2.5 平坦性と下降定理 2.6 カテナリー環 2.7 整閉包の有限性 2.8 デデキント環のイデアル論 2.9 次数環 2.10 正則局所環 第3章　付値と完備化 3.1 位相体・付値 3.2 完備化の平坦性 3.3 ヘンゼルの補題と不分岐性 3.4 完備化を考える理由 第4章　テンソル代数と双線形形式 4.1 テンソル代数・対称代数・外積代数 4.2 双線形形式 4.3 恒等式の証明 4.4 2次形式 4.5 直交群 4.6 ヴィット分解 4.7 交代形式 4.8 対称形式と2次形式の違い 第5章　表現論入門 5.1 表現の指標 5.2 可換群の場合 5.3 既約指標の例 5.4 誘導表現 第6章　ホモロジー代数入門 6.1 ホモロジー代数とは何か 6.2 圏と関手 6.3 TorとExt 6.4 複体の射と射影的分解・単射的分解 6.5 snake lemmaと長完全系列 6.6 二重複体 6.7 スペクトル系列 6.8 群のコホモロジー 6.9 非可換ガロアコホモロジー 第7章　補足 7.1 単純環と半単純環 7.2 ブラウアー群とH^2 7.3 ネーター環と不変式 7.4 ヴィット環 7.5 標数pの体の可換pべき拡大 7.6 グレブナー基底 7.7 2,3,4次体のパラメータ化 7.8 5次体のパラメータ化の概要